解答と解説の実況中継【中3数学「計算編②」】

総復習テストの解答と解説
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解答と解説の実況中継【中3数学「計算編②」】

これは『10分テスト!中3数学の総復習プリント「計算編②」』の解答と解説です。
インターネットという環境を活かし、かなり詳しく、授業の実況中継をするように書いておきました。

○か×かだけではなく、途中式や考え方の道筋が正しいかということをしっかり確認するのがレベルアップの秘訣です。
(重要:勉強で一番大切なこととは何か【これを知らずに勉強してはいけない】

では詳しい解答と解説、行きましょう!

※数式が見られない場合はこちらへ⇒(※画像版

①の解答と解説

\begin{eqnarray}
&&(a-\frac{1}{3})(a+\frac{1}{4}) \\
&=&a^{ 2 } +(-\frac{1}{3}+\frac{1}{4})a+(-\frac{1}{3}) \times \frac{1}{4} \\
&=&a^{ 2 } +(-\frac{4}{12}+\frac{3}{12})a-\frac{1}{12} \\
&=&a^{ 2 } +(-\frac{1}{12})a-\frac{1}{12} \\
&=&a^{ 2 } -\frac{1}{12}a-\frac{1}{12}
\end{eqnarray}

多項式同士のかけ算になっています。
今回はそれぞれのカッコがどちらも「a」で始まっていますね。

このように、それぞれのカッコがどちらも同じ項で始まっている場合は、以下のどれかの公式が使えることが多いので調べてみましょう。

~ 乗法の公式 ~
①(x+a)(x+b)=x+(a+b)x+ab
②(a+b)=a+2ab+b
③(a-b)=a-2ab+b
④(a+b)(a-b)=a-b

今回はどちらも「a」で始まっていて、その後の項の数が違うだけですので、①が使えますね。
ということで、公式に数をあてはめて、まとめましょう。

分数同士のたし算は通分が必要なので、忘れず通分しましょうね!

②の解答と解説

\begin{eqnarray}
&&(x+5)^{ 2 }-(x+4)(x+7) \\
&=&x^{ 2 }+2 \times x \times 5 +5^{ 2 }-\{x^{ 2 } +(4+7)x+ 4 \times 7\} \\
&=&x^{ 2 }+10x+25-(x^{ 2 }+11x+28) \\
&=&x^{ 2 }+10x+25-x^{ 2 }-11x-28 \\
&=&-x-3
\end{eqnarray}

真ん中の「-」の左側には「乗法の公式」の②が、そして右側には「乗法の公式」の①が使えますね。
それぞれの公式に当てはめて、同類項をまとめましょう。

※右側を計算するときには、手前の「-」に注意が必要です。
この「-」は、後で「-1」として分配します。
そのため、まずはカッコでくくっておき、公式の展開を先に行いましょう(解説2・3段目)。
公式の展開がし終わった後で、カッコをはずしつつ「-1」を分配します(解説4段目)。

③の解答と解説

\begin{eqnarray}
&&(a-\frac{1}{2})^{ 2 } \\
&=&a^{ 2 } -2 \times a \times \frac{1}{2} +(\frac{1}{2})^{ 2 }\\
&=&a^{ 2 } -a +\frac{1}{4}
\end{eqnarray}

「乗法の公式」の③の形になっていますね。
公式に数をあてはめて、まとめましょう!

④の解答と解説

\begin{eqnarray}
&&(a-\frac{2}{3})(a+\frac{2}{3})\\
&=&a^{ 2 } -(\frac{2}{3})^{ 2 } \\
&=&a^{ 2 } -\frac{4}{9}
\end{eqnarray}

「乗法の公式」の④の形になっていますね。
公式に数をあてはめて、まとめましょう!

⑤の解答と解説

\begin{eqnarray}
&&(-x+3y)(x+3y)-(x+2y)(x-2y)\\
&&(3y-x)(3y+x)-(x+2y)(x-2y)\\
&=&(3y)^{ 2 } -x^{ 2 } -\{ x^{ 2 } -(2y)^{ 2 } \} \\
&=&9y^{ 2 } -x^{ 2 } -\{ x^{ 2 } -4y^{ 2 } \} \\
&=&9y^{ 2 } -x^{ 2 } -x^{ 2 } +4y^{ 2 } \\
&=&-2x^{ 2 }+13y^{ 2 }
\end{eqnarray}

真ん中の「-」の右側は、乗法の公式の④の形になっています。

しかし左側は?

こちらは一見、ただ分配していくしかないように見えるかもしれません。
でも、「3y」と「x」でかなり共通していますね。

こういう場合は、「3y」が先に来るように入れかえてみましょう。
すると、同じ「3y」で始まり、その後はプラスとマイナスが違うだけという式になります。
ということは、こちらも乗法の公式の④が使えますね!

ここまでできたら、後は公式に数をあてはめて、まとめたら完成です!

終わりに

10分テスト!中3数学の総復習プリント「計算編②」(問題)はどうでしたか?
公式を慎重に利用すれば解けるものばかりなので、正しくできるよう繰り返し練習しましょう。
問題を見て、すぐに公式に持っていけるようになるまで練習するのが理想です!

※繰り返しが重要だという話⇒成績を上げるにはどのくらい勉強すればいい?【繰り返しは必要?】

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