１０分テスト！中2数学の総復習プリント「連立方程式②」

\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
2x + 3y = 4 \cdots① \\
2(x + y) = 4y-6 \cdots②
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}

②の式にかっこがありますね。
かっこは必ず外しておきましょう。
右辺の \(4y\) も、両辺に \(-4y\) して移項し、整えます。

\begin{eqnarray}
2(x + y) &=& 4y-6 \\
2x + 2y &=& 4y-6 \\
2x + 2y-4y &=& 4y-4y-6 \\
2x-2y&=&-6
\end{eqnarray}

①の式と\(x\) がそろいましたね。
両辺を割ればもっと簡単な式にできますが、今回はここまでにします。
後は加減法で解きましょう。
\(①-②\)をします 。

\begin{array}{r}
2x + 3y =\phantom{.0} 4 \\
\underline{-)\phantom{.}2x-2y =-6  }\\[-3pt]
\end{array}

②の式に \(-1\) を分配してかけて、引き算をたし算にかえましょう。
そして \(y\)の値を出します 。

\begin{array}{r}
2x + 3y =\phantom{.0} 4 \\
\underline{+)\phantom{.}-2x+2y =\phantom{.0}6  }\\[-3pt]
5y=\phantom{.}10 \\
y=\phantom{.0}2\\
\end{array}

\(y\) の値が出たら、①か②の式の \(y\) に代入して \(x\) の値を求めましょう。
簡単だと思う方に代入してOKです。
今回は①の式に代入してみます。

\begin{eqnarray}
2x + 3 \times 2 &=& 4 \\
2x + 6&=&4 \\
2x&=&4-6 \\
2x&=&-2 \\
x&=&-1
\end{eqnarray}

よって、答えは、

\begin{eqnarray}
(x,y)=(-1,2)
\end{eqnarray}

となります。

\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
3x-(x+5y) = -11 \cdots① \\
2(x+3y)-3x-2 =14 \cdots②
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}

どちらの式にもかっこがありますね。
かっこは必ず外しておきましょう。
まずは①のかっこを外して整理します。

\begin{eqnarray}
3x-(x+5y) &=& -11 \\
3x-x-5y &=& -11 \\
2x-5y&=&-11 \cdots①’
\end{eqnarray}

次は②のかっこを外して整理します。
さらに、左辺にある \(-2\)は、両辺に \(+2\)して右辺に移項します。

\begin{eqnarray}
2(x+3y)-3x-2 &=&14 \\
2x+6y-3x-2 &=& 14 \\
-x+6y-2&=&14\\
-x+6y-2+2&=&14+2\\
-x+6y&=&16 \cdots②’
\end{eqnarray}

これで整理できました。
後は \(②’\) の式に \(\times 2 \)をして \(x\)の部分をそろえたら 、\(①’+②’\)で \(y\) の値を出しましょう。

\begin{array}{r}
2x-\phantom{0}5y =-11 \\
\underline{+)\phantom{.}-2x+12y =\phantom{.0}32 }\\[-3pt]
7y=\phantom{.0}21 \\
y=\phantom{.00}3\\
\end{array}

\(y\) の値が出たら、①か②、あるいは\(①’\) か\(②’\) の式の \(y\) に代入して \(x\) の値を求めましょう。
簡単だと思う式に代入してOKです。
今回は \(①’\) (①の整理したほうの式）に代入してみます。

\begin{eqnarray}
2x-5 \times 3 &=&-11 \\
2x-15&=&-11 \\
2x&=&4 \\
x&=&2
\end{eqnarray}

よって、答えは、

\begin{eqnarray}
(x,y)=(2,3)
\end{eqnarray}

となります。

\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
11x+3y = -12 \cdots① \\
\dfrac{2}{3}x-\dfrac{1}{2}y =2 \cdots②
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}

②の式に分母があるので、整数に直していきます。
分母の \(3\) と \(2\) の公倍数である \(6\) を両辺にかけましょう。

\begin{eqnarray}
(\dfrac{2}{3}x-\dfrac{1}{2}y) \times 6&=&2 \times 6 \\
\dfrac{2}{3}x \times 6-\dfrac{1}{2}y \times 6&=&12 \\[3pt]
4x-3y&=&12 \cdots②’
\end{eqnarray}

これで整数の式に直せました。
\(y\) の部分がそろっているので、\(①+②’\) で \(x\) の値を求めましょう。

\begin{array}{r}
11x+3y =-12 \\
\underline{+)\phantom{.0}4x-3y =\phantom{.0}12 }\\[-3pt]
15x=\phantom{.00}0\\[-3pt]
x=\phantom{.00}0
\end{array}

\(x\) の値が出たら、①か②、あるいは \(②’\) の式の \(x\) に代入して \(y\) の値を求めましょう。
簡単だと思う式に代入してOKです。
今回は①の式に代入してみます。

\begin{eqnarray}
11 \times 0 +3y &=&-12 \\
3y&=&-12 \\
y&=&-4
\end{eqnarray}

よって、答えは、

\begin{eqnarray}
(x,y)=(0,-4)
\end{eqnarray}

となります。

\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
0.3x+0.2y =3 \cdots① \\
x+3y =17 \cdots②
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}

①の式に小数があるので、整数に直していきます。
どちらも小数第一位までの小数なので、両辺に \(10\) をかけましょう。

\begin{eqnarray}
(0.3x+0.2y) \times 10&=&3 \times 10 \\
0.3x \times 10+0.2y \times 10&=&30 \\
3x+2y&=&30 \cdots①’
\end{eqnarray}

これで整数の式に直せました。
次は \(②\) の式に \(\times 3 \)をして \(x\)の部分をそろえます。

\begin{eqnarray}
(x+3y) \times 3&=&17 \times 3 \\
x \times 3+3y \times 3&=&51 \\
3x+9y&=&51 \cdots②’
\end{eqnarray}

\(x\) の部分がそろっているので、\(①’-②’\) で \(y\) の値を求めます。

\begin{array}{r}
3x + 2y =30 \\
\underline{-)\phantom{.}3x+9y =51  }\\[-3pt]
\end{array}

②の式に \(-1\) を分配してかけて、引き算をたし算にかえましょう。
そして \(y\)の値を出します 。

\begin{array}{r}
3x + 2y =\phantom{.0} 30 \\
\underline{+)\phantom{.}-3x-9y =-51  }\\[-3pt]
-7y=-21 \\
y=\phantom{.00}3\\
\end{array}

\(y\) の値が出たら、①、②、①’、②’のいずれかの式の \(y\) に代入して \(x\) の値を求めましょう。
簡単だと思う式に代入して大丈夫です。
今回は②の式に代入してみます。

\begin{eqnarray}
x + 3 \times 3 &=& 17 \\
x + 9&=&17 \\
x+9-9&=&17-9 \\
x&=&8
\end{eqnarray}

よって、答えは、

\begin{eqnarray}
(x,y)=(8,3)
\end{eqnarray}

となります。

\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
0.2x+0.3y = 0.4 \cdots① \\
\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{4}y =-1 \cdots②
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}

①の式には小数があるので、整数に直していきます。
どちらも小数第一位までの小数なので、両辺に \(10\) をかけましょう。

\begin{eqnarray}
(0.2x+0.3y) \times 10&=&0.4 \times 10 \\
0.2x \times 10+0.3y \times 10&=&4 \\
2x+3y&=&4 \cdots①’
\end{eqnarray}

これで①は整数の式に直せました。

次は②です。
分数があるので、整数に直していきます。
分母の \(2\) と \(4\) の公倍数である \(4\) を両辺にかけましょう。

\begin{eqnarray}
(\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{4}y) \times 4&=&-1 \times 4 \\
\dfrac{1}{2}x \times 4+\dfrac{1}{4}y \times 4&=&-4 \\[3pt]
2x+y&=&-4 \cdots②’
\end{eqnarray}

これで②も整数の式に直せました。
\(x\) の部分がそろっているので、\(①’-②’\) で \(y\) の値を求めます。

\begin{array}{r}
2x + 3y =\phantom{.0}4 \\
\underline{-)\phantom{.}2x+\phantom{0}y =-4  }\\[-3pt]
\end{array}

\(②’\) の式に \(-1\) を分配してかけて、引き算をたし算にかえましょう。
そして \(y\)の値を出します 。

\begin{array}{r}
2x + 3y =4 \\
\underline{+)-2x-\phantom{0}y =4 }\\
2y=8\\
y=4
\end{array}

\(y\) の値が出たら、①か②、あるいは \(①’か②’\) の式の \(y\) に代入して \(x\) の値を求めましょう。
簡単だと思う式に代入してOKです。
今回は \(②’\) の式に代入してみます。

\begin{eqnarray}
2x+ 4 &=&-4 \\
2x+4-4&=&-4-4 \\
2x&=&-8 \\
x&=&-4
\end{eqnarray}

よって、答えは、

\begin{eqnarray}
(x,y)=(-4,4)
\end{eqnarray}

となります。